1 · 核心链式恒等式
模型不做因果推断,只做条件推演。紫色项是通常被隐藏为 1.0 的修正系数:
reach(p) = λ·p + (1 − λ)·[ 1 − (1 − p)f ]
单人触达率。λ=1:假设同一人多次查询完全相关,等价于 ÷f;λ=0:完全独立。
L毛 = (V × α ÷ f) × [ reach(p₁) − reach(p₀) ] × ract × k_w × k_m
V×α÷f = 月度人数(而非提问次数)。当 λ=1 时该式恒等于 V × α × (p₁−p₀) × ract × k_w × k_m ÷ f。
L净 = L毛 × (1 − θ)
扣除渠道蚕食。θ 在 CRM 中不可观测,故该量仅用于毛利折算。
GΔ = L净 × rclose × M = den × (p₁ − p₀)
其中 den ≡ V × α × ract × k_w × k_m ÷ f × (1−θ) × rclose × M,当前中值 den = —
2 · 两条平衡线:同一方程,两个未知数
令 GΔ = C。解出哪个未知数,就得到哪条平衡线。
(a) 解 C —— 服务价格平衡线:目标达成时这项服务每月最多值多少钱。
Cbe = GΔ = den × (p₁ − p₀)
(b) 解 p —— 提及率平衡线:提及率要推到几才打平。
pbe = 满足 GΔ(pbe) = C 的解 (λ<1 时无闭式解,以二分法求得)
λ = 1 时退化为闭式: pbe = p₀ + C ÷ den。
λ < 1 时 reach(·) 非线性,闭式解不存在 —— 这是承认饱和效应必须付的代价。
若 GΔ(1) < C,则提及率拉满 100% 也无法回本,显示为「不可能」。
主判据(三式等价):
C ≤ Cbe ⟺ p₁ ≥ pbe ⟺ (p₁ − p₀) ≥ Cden
因 GΔ 关于 p₁ 单调递增,三式互为充要条件。
注意:"所需增量与起点 p₀ 无关"这一论断只在 λ = 1 时成立;λ < 1 时 reach(·) 非线性,所需增量随 p₀ 变化。当前 λ 中值 = —。
3 · 累计回本(爬坡期)
平衡线是稳态解 —— 它回答"稳定之后能否打平",不回答"多久才回本"。爬坡期内已支付成本但收益不足:
p(τ) = p₀ + (p₁ − p₀) × [ min(τ ÷ T, 1) ]γ
回本月 = min{ m : Στ + s ≤ m GΔ(p(τ)) ≥ C × m }
τ 月产生的询盘,其毛利在 τ + s 月才到账。当前 T = — 月、γ = —、s 中值 = — 月。
4 · 提及率的测量口径
大模型输出是随机的 —— 同一问题问两次答案可能不同。故 p₀ 是概率,须重复采样估计:
p̂ = Σ 1{提及}N × M × K
SE(p̂) = √( p̂(1 − p̂) ÷ n × DEFF ) DEFF = 1 + (m̄ − 1)ρ
当前设定 ρ = —,m̄ = — ⇒ DEFF = —;
α = —,power = — ⇒ z1−α/2 + zpower = —
同一 prompt 的重复、同一问题下多模型的回答彼此高度相关,并非独立伯努利抽样。有效样本量由问题数(聚类数)主导,而非总查询次数。
| 待检出变化 | iid 下限 n(每组) | 按 DEFF 修正后 | 两期合计 |
|---|
| — | — | — | — |
双比例检验,α 与 power 取自上方 M 层输入。改 M 层的 p_A / p_B / ρ / m̄ / α / power,此表实时重算。
5 · 弹性与敏感性
对纯乘法因子,对数弹性恒为 1。但有两个非裸乘法项((1−θ) 与 (p₁−p₀)),产生三个例外:
Eθ = − θ1 − θ = —
Ep₁ = p₁p₁ − p₀ = —
Ep₀ = − p₀p₁ − p₀ = —
⚠ 龙卷风图是 OAT(一次一因子),条形不可相加。
推论:由于所有参数均仿射进入 GΔ,"条长 = 弹性 × 区间宽度"是恒等式而非近似,误差为零。但该恒等式只对 GΔ 成立 —— pbe 对多数参数是倒数型,弹性完全不同。
6 · 本模型明确不做的事
- 不做因果推断。双重差分与合成控制需要对照组与面板数据,售前阶段两者皆不存在。
- 不预测最终收入。链条止于增量询盘。
- 不输出点估计。三条结论线均以区间呈现。
- 不给出概率。角点不是分位数,本版本无法回答"亏损概率是多少" —— 该结论需蒙特卡洛。
- 不含写死常数。本页任何数字均可由上方输入改变;若发现某个数字改不动,那是缺陷,请报告。
7 · 本页还剩下什么是"写死"的
写死有三种形态。前两种已全部清除,第三种本版本已清除已知的六处,但无法保证穷尽:
| 形态 | 例子 | 状态 |
|---|
| 写成数字 | 样本量 196、冲突系数 3%、0.1⁷ | 已全部改为实时计算 |
| 写成 1.0(缺失的环节) | k_w、k_m、f | 已暴露为 K 层 |
| 写成形状(选定的函数形式) | λ、s、γ、ρ_p、α、power | 已暴露为 S 层与 M 层 |
仍然固定、且不应变成输入的,只有数学结构本身:
- 链式相乘的骨架 —— 这就是"数学理论",改它等于换一个模型
- (1 − θ) 中的 1、reach 中的 1 − (1−p)f —— 概率论恒等式,不是假设
- 正态分位数的有理逼近系数 —— 数值方法,不是假设
- 边界守卫(max(0,·)、除零保护)与 CSS —— 不进入任何计算
自检承诺:本页当前共 — 个输入项,驱动 — 个不确定参数。
若你发现任何一个显示出来的数字无法通过修改某个输入来改变,那就是一处残留的写死,请报告。
8 · 已知局限与利益冲突披露
-
测量方存在利益冲突。V、p₀、p₁ 由服务方提供,而 (p₁ − p₀) 线性进入全部输出。
当前设定下 p̂₀ 每低估 1 个百分点,推算毛利即抬高 —(= 1/(p₁−p₀),随 p₁ 实时变化;目标提升幅度越小,该系数越大)。
缓解措施:题库预注册、模型清单固定、原始采样日志可交付、允许第三方复现。
「推导公开」与「输入可审计」是两件事。
- p₁ 是输入而非输出。"服务方能否把 p₀ 推到 p₁"完全在本模型之外,且 p₁ 未纳入敏感性分析。
- 验收口径仍依赖增量。L毛 含差项 (p₁−p₀),按构造即增量;而 CRM 只能计数水平量。要从水平量剥出增量,需要本工具声明不做的反事实推断。验收条款应改用"水平量 + 来源归因",或采用 holdout / 分城对照。
- C 是否完整取决于你怎么填。内容生产、站点改造、配合人力若由你自己承担,请把这些也加进 C;且 C 无区间。
- 效果衰减未建模。停服后提及率是否回落,决定 LTV 与合同期定价,本版本未处理。
